Pada pokok bahasan persamaan kuadrat terdapat konesp mengenai jumlah akar-akar dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat merupakan polinom berderajat 2. Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat merupakan contoh hubungan antara akar-akar polinom dengan koefisiennya.
Berikut ini akan dibahas mengenai hubungan akar-akar sebuah polinom dengan koefisien polinom secara umum, termasuk di dalamnya bagaimana menentukan penjumlahan atau perkalian akar-akar polinom.
Persamaan kuadrat (polinom berderajat 2)
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0, dengan a tidak sama dengan 0 maka:
Persamaan kubik (polinom berderajat 3)
Jika x1, x2 dan x3 adalah akar-akar persamaan kubik ax3+bx2+cx+d=0, dengan a tidak sama dengan 0 maka:
Persamaan polinom berderajat empat
Jika x1, x2, x3 dan x4 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax4+bx3+cx2+dx+e=0, dengan a tidak sama dengan 0 maka:
Untuk memudahkan menghapal rumusnya, perhatikan polanya. Jumlah satu akar-akarnya adalah -b/a, jumlah dari perkalian dua akarnya adalah c/a, jumlah dari perkalian tiga akarnya adalah -d/a, dan jumlah dari perkalian empat akarnya adalah e/a. Penyebutnya tetap a, tapi pembilangnya berurutan mulai dari b, c, d, dan e serta tandanya selang-seling dimulai dari negatif-positif-negatif-positif. Aturan tersebut berlaku umum untuk polinom berderajat berikutnya.
Contoh soal:
Diberikan persamaan x3-3x2-10x+p=0 dengan akar-akar x1, x2, dan x3. Jika 2x1=-x2-x3. Tentukan nilai p.
Jawaban:
Dari yang diketahui
2x1=-x2-x3 ⇔ x2+x3=-2x1
Gunakan rumus penjumlahan akar-akar
Karena x1=-3 adalah akar dari polinom x3-3x2-10x+p=0 maka:
(-3)3-3(-3)2-10(-3)+p=0
⇔ -27-27+30+p=0
⇔ -24+p=0
p=24
Soal:
Jika persamaan 2x3+px2-18x+8=0 memiliki dua akar yang saling berkebalikan, tentukan nilai p.
Jawaban:
Misalkan akar-akar polinom 2x3+px2-18x+8=0 adalah x1, x2, dan x3.
Diketahui bahwa polinom tersebut mempunyai dua akar berkebalikan. Kita misalkan x1 dan x2 yang berkebalikan, sehingga
Gunakan rumus perkalian akar-akar
Karena x3=-4 akar dari 2x3+px2-18x+8=0 maka
2(-4)3+p(-4)2-18(-4)+8=0
⇔ -128+16p+72+8=0
⇔ 16p=48
p=3
Oleh Opan
Dipostkan March 17, 2012
Seorang guru matematika yang hobi ngeblog dan menulis. Dari ketiganya terwujudlah website ini sebagai sarana berbagi pengetahuan yang saya miliki.
